El Grupo Interáreas de Álgebra, Geometría y Topología está conformado por investigadores pertenecientes a la Escuela de Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Los miembros del grupo han realizado aportes en las áreas: teoría de nudos, teoría geométrica de funciones, teoría geométrica de grupos y álgebras no asociativas. Estas áreas de investigación, si bien se inscriben en lo que tradicionalmente se denomina “Matemática Pura”, tiene un efecto importante en la fundamentación básica de ingenieros y científicos. Un objetivo primordial del grupo es promover la cooperación entre sus miembros para la investigación en problemas que requieran del aporte de varios campos de la matemática. Esto explica el nombre del grupo y la multiplicidad de áreas en las cuales trabajan los integrantes. Para el logro de este objetivo, el grupo desarrolla un Seminario Permanente en el cual se tocan temas de naturaleza interdisciplinar. Otro objetivo prioritario del grupo es la formación de recurso humano en todos los niveles académicos: pregrado, maestría y doctorado. Este propósito se ha hecho efectivo mediante la participación de estudiantes en el grupo, a través de proyectos, en el marco de los cuales los estudiantes realizan las tesis.

• ÁLGEBRAS NO ASOCIATIVAS
• TEORÍA GEOMETRICA DE FUNCIÓNES
• TRES VARIEDADES
• TEORÍA DE GRAFOS
• TEORÍA DE NUDOS
• GEOMETRIA ÁLGEBRAICA
• COMBINATORIA
• TEORÍA GEOMETRICA DE GRUPOS

El trabajo del grupo se enfoca en dos aspectos: investigación y formación académica. En investigación, la visión del grupo es proponer y resolver problemas que requieran el aporte multidisciplinario de los miembros. Con este fin, el grupo lleva a cabo un Seminario avanzado en el que se discute los problemas y se estudian las técnicas específicas para la solución de los mismos. La idea general es proponer problemas que involucren todas las disciplinas que definen al grupo, tales como aquellos de naturaleza geométrica; en particular, problemas relacionados con 3-variedades y superficies. En cuanto a la actividad en formación académica, los miembros del grupo desarrollan cursos en todos los niveles de formación en matemáticas (pregrado, maestría y doctorado) y, de manera sustancial, dirigen tesis y trabajos de grado. Para este efecto el grupo gestiona recursos financieros a través de proyectos de investigación. La gestión se realiza, internamente, en la Universidad Nacional y, externamente, ante Colciencias. Además de lo anterior, el grupo mantiene vínculos con investigadores reconocidos nacional e internacionalmente. En este sentido, la visión de los miembros es fortalecer y ampliar tales vínculos incluyendo, en los proyectos, pasantías de estudiantes y profesores.

Para el Grupo Inter-áreas en Álgebra, Geometría y Topología es prioritaria la investigación en problemas que involucren las siguientes áreas: Teoría de Nudos. Se investigan los invariantes de los nudos (entre los cuales el grupo fundamental es una fuente importante de problemas) y su relación con las 3-variedades (para cada 3-variedad existe una 3-cubierta ramificada sobre la 3-esfera cuyo conjunto de ramificación es un nudo). Teoría de nudos y teoría geométrica de funciones. Los resultados de Thurston muestran que, para muchos enlaces, el complemento del enlace puede ser dotado de estructura hiperbólica, lo cual, a su vez, implica que el grupo fundamental del enlace admite representaciones en PSL(2,C). Este es el punto de partida para relacionar estas dos líneas de investigación: el interés se vuelca sobre los aspectos geométricos de los grupos de enlaces. Algebras no asociativas. La estructura de Álgebra supone asociatividad pero diversas e importantes estructuras se encuentran que obedecen otros "tipos de asociatividad". El estudio, clasificación e inter-relaciones de las llamadas álgebras no-asociativas son objeto de importantes desarrollos. Las álgebras de Lie, Jordan, y alternativas son por ejemplo fundamentales para la clasificación de muchas estructuras algebraicas (asociativas o no) y sus representaciones. Teoría Geométrica de Grupos. Aquí el propósito es estudiar los grupos, no sólo por su acción sobre objetos geométricos, sino como objetos geométricos en sí mismos. De manera más específica, un grupo finitamente presentado puede verse como un espacio métrico lo cual permite una nueva aproximación a la Teoría de Grupos. El objetivo de esta línea es usar este enfoque para estudiar problemas de la Teoría Combinatoria de Grupos y especialmente de algunos grupos infinitos como por ejemplo los grupos de Thompson. Geometría Algebraica. En las funciones zeta asociadas con curvas algebraicas sobre cuerpos finitos existen codificadas -lo mismo que ocultas- propiedades de naturaleza aritmética de la curva. En el caso no singular la teoría es bien conocida y culmina en el Teorema de Hasse-Weil. Teoría Geométrica de Funciones. Esta teoría (que tiene sus inicios en el Teorema del Mapeo Conforme de Riemann) se ocupa de estudiar las características geométricas de los objetos (dominios del plano complejo, por ejemplo) a partir de características analíticas. Nuestro grupo tiene interés, de manera particular, en estudiar la interacción de la métrica hiperbólica con el estudio de las propiedades geométricas de dominios del plano. Además, recientemente, el grupo han incursionado en el estudio de las funciones armónicas planares.

Los objetivos del grupo para los próximos años son: 1. Producir conocimiento nuevo en Matemáticas con estándares internacionales. 2. Fortalecer los programas de doctorado, maestría y especialización en los que participa el grupo. 3. Mantener e incrementar los contactos del grupo con pares nacionales e internacionales. 4. Continuar con la realización de proyectos de investigación. 5. Formar investigadores, profesionales y docentes en las áreas de Álgebra, Geometría y Topología y fortalecer el desarrollo de la Matemática en otras áreas básicas de aplicación. 6. Garantizar un relevo generacional en el grupo con investigadores jóvenes de alto nivel.

INTERACCIONES ENTRE EL ÁLGEBRA, LA COMBINATORIA Y LA COMPUTACIÓN CUÁNTICA CON APLICACIONES EN CIBERSEGURIDAD Y ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE DATOS

Posets, álgebras de Leibniz y digrupos generalizados.

Representaciones de posets y conexiones con álgebra de Loday

Centro de excelencia en computación cuántica e inteligencia artificial

Funciones Hiperbólicamente Cóncavas

Automorfismos del grupo de Thompson V .

Aspectos Combinatorios, Analíticos y Geométricos de Nudos Virtuales

Familias esféricamente invariantes

Sobre series de Poincaré en varias variables asociadas a curvas algebraicas singulares

Tópicos en Funciones Hiperbólicamente Convexas

METODOS ALGEBRAICOS EN SISTEMAS DINAMICOS 2014

Álgebras de Leibniz y el problema Coquecigrue

La Ecuación del Calor Discreta y D-grupoides

Variedad de Representaciones de Grupos de Nudos Toroidales en SL(2,C).

Geometría hiperbólica y dominios fundamentales

Tópicos en funciones armónicas del plano complejo

Generalización del grupo modular parametrizado y representaciones de grupos de enlaces de 3-puentes

El Rango Especial de Grupos de Nudos Clásicos de dos Puentes

• VIRTUAL KNOT GROUPS AND COMBINATORIAL KNOTS (IMPRESOS UNIVERSITARIOS)
• TRIPLETAS Y NUDOS VIRTUALES (PONENCIAS EN EVENTOS ESPECIALIZADOS)
• VIRTUAL KNOT THEORY (PONENCIAS EN EVENTOS ESPECIALIZADOS)
• GRUPOS DE NUDOS CON DOS GENERADORES (PONENCIAS EN EVENTOS ESPECIALIZADOS)
• ON THE HYPERBOLIC ORDER (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• Hyperbolically convex constricted domains (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• UNIFORM DOMAINS ON HOLOMORPHIC CURVES (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• SCHWARZIAN NORMS AND TWO-POINT DISTORTION (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• TWO-POINT DISTORTION FOR NEHARI FUNCTIONS (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• CLASSIFICATION OF SOME GRADED NOT NECESSARILY ASSOCIATIVE DIVISION ALGEBRAS I (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• BOUNDED SCHWARZIAN AND TWO-POINT DISTORTION (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• FREE PRODUCTS IN R. THOMPSON'S GROUP V (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• ON THE BOUNDARY BEHAVIOUR OF POLYMORPHIC FUNCTIONS (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• ARTIFACTS FOR STAMPING SYMMETRIC DESIGNS (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• THE ANALYTIC FIXED POINT FUNCTION II (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• ANALYTIC FAMILIES OF HOMOMORPHISMS INTO PSL(2,C) (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• (I,Q)-GRADED LIE ALGEBRAIC EXTENSIONS OF THE POINCARE ALGEBRA, CONSTRAINTS ON I AND Q (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• Graded Lie algebras and q-commutative and r-associative parameters (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• ON GROUPS AND NORMAL POLYMORPHIC FUNCTION (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• THREE MANIFOLDS AS GEOMETRIC BRANCHED COVERINGS OF THE THREE EPHERE (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• STRONGLY HYPERBOLICALLY CONVEX FUNCTIONS (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• ON SPHERICAL INVARIANCE (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• ON THE TWO-PARABOLIC SIBGROUP OF SL(2,C) (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• ON THE CLASSIFICATION OF G-GRADED TWISTED ALGEBRAS (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• EQUIVALENCE OF RATIONAL LINKS AND 2-BRIDGE LINKS REVISITED (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)
• ON THE CLASSIFICATION OF 3-BRIDGES LINKS (PUBLICACIÓN EN ARTÍCULO DE REVISTA)