En esta investigación usaremos representaciones de posets sobre el conjunto de los números naturales, funciones generantes, recursos computacionales y otras herramientas nuevas provenientes de la teoría de representaciones de posets con el propósito de obtener criterios, que nos permitan determinar cuales enteros positivos de una forma dada, pueden escribirse como una suma finita de números poligonales de una forma también dada. Además obtendremos criterios para aquellos números naturales que se pueden expresar como una suma de tres, cuatro, hasta siete números octaedrales. El objetivo de estos criterios es producir avances en algunos problemas abiertos de la teoría de números que conciernen ecuaciones diofánticas, las cuales involucran números figurados de distintas clases. En particular avanzaremos en la solución de la conjetura de Pollock (1850) que afirma que todo entero puede escribirse como una suma de a lo mas siete números octaedrales. Las construcciones (algoritmos y software) empleadas en la solución de los problemas mencionados arriba también permitirán avances en la solución de un problema propuesto por Sierpinski en 1964 el cual pide determinar cuales números enteros pueden expresarse como una suma de cuatro cubos con dos de ellos iguales. Adicionalmente se producirán fórmulas para el número de particiones de un entero positivo como una suma de números poligonales. Las ideas propuestas en esta investigación serán aplicadas en la Criptografía, mas específicamente en la construcción de cierta clase de criptosistemas resistentes a ataques estadísticos y a otros tipos de criptoanálisis.