Mezclas de partículas que obedecen diferente estadística han intrigado a los científicos por décadas, siendo la mezcla de átomos de 3He y 4He uno de sus primeros ejemplos, el cual aún hoy no ha sido obtenido en el laboratorio. Actualmente, los experimentalistas pueden mezclar isotopos del mismo átomo o de átomos diferentes en ambientes limpios y totalmente controlables, donde las interacciones entre partículas diferentes o del mismo tipo pueden ser manipuladas. Estos montajes que involucran confinar átomos a muy bajas temperaturas han permitido la observación de diversas fases cuánticas como aislantes de Mott y fases de separación entre otros fenómenos [Phys. Usp. 59, 1129 (2016)]. Al confinar bosones o fermiones se ha observado experimentalmente el predicho aislante de Mott, donde los portadores están conmensurados con el tamaño de la red [Nature 415, 39 (2002); Nature 455, 204 (2008)]. Mezclando bosones y fermiones surgió una fase aislante conmensurada denominada aislante de Mott mixta, donde el número total de portadores (bosones + fermiones) coincide con el tamaño de la red [Nat. Phys. 7, 642 (2011)]. Recientemente nuestro grupo reportó el surgimiento de una nueva fase aislante globalmente no conmensurada, al considerar una mezcla con fermiones con estructura interna (espín) [Phys. Rev. A 100, 063620 (2019)]. Interacciones locales o de corto alcance son suficientes para explicar los resultados anteriores, sin embargo sistemas con interacciones de largo alcance prometen una diversidad de fases cuánticas y una rica dinámica. Diversas formas para manipular las interacciones dipolo-dipolo entre átomos están permitiendo obtener interacciones de largo alcance y así simular modelos de Hubbard extendidos [Science 357, 995 (2017)]. Al considerar una mezcla de bosones y fermiones sin espín con interacciones locales y a primeros vecinos se pronosticó una fase con orden de largo alcance que se funde al aumentar la movilidad de los portadores [Phys. Rev. A 82, 021602(R) (2010)]. Deseando encontrar nuevas fases tipo onda densidad de carga y espín o fases de separación o supersólido o fases cristalinas, nosotros estudiaremos en este proyecto una mezcla de bosones escalares (sin espín) y de fermiones con espín ½ que interactúan entre sí localmente y a primeros vecinos. Este tipo de mezcla ya ha sido creada en el laboratorio con átomos de Li, pero los estudios se han enfocado solo en el estado superfluido de la mezcla [Science 345, 1035 (2014)]. La descripción de las mezclas degeneradas de bosones y fermiones se realiza en términos del Hamiltoniano Bose-Fermi-Hubbard, el cual ser extendido al considerar términos de interacción a primeros vecinos. Este sistema se estudiará a temperatura cero ya que el confinamiento de átomos se logra a temperaturas del orden de los cientos de nanoKelvin. El Hamiltoniano de Bose-Fermi-Hubbard será explorado con la técnica de campo medio y complementariamente usaremos las técnicas numéricas de diagonalización exacta y el método de grupo de renormalización de la matriz densidad (DMRG) [PRL 69, 2863 (1992)]. A este proyecto de investigación se vincularán un estudiante de maestría (Ramón Felipe Guerrero) y una estudiante de pregrado (Julietta Sophia Mendivelso). La ejecución de este proyecto de investigación arrojará como posibles resultados la determinación del diagrama de fase del modelo, así como un (1) artículo publicado o sometido a una revista internacional, una tesis de maestría, un trabajo de grado y una ponencia en un internacional.