Supongamos que G es un grupo de Lie. Para cada entero n>0, consideremos el conjunto Hom(Z^n,G). Este conjunto puede ser identificado con el espacio de n-tuplas conmutativas en G, con la topología subespacio de G^n. El grupo G actúa por conjugación en Hom(Z^n,G) y el cociente Rep(Z^n,G):=Hom(Z^n,G)/G puede ser identificado con el espacio modular de clases de isomorfismo de conexiones planas en G-fibraciones principales sobre el n-toro (S^1)^n . Los espacios modulares de conexiones planas en G-fibraciones principales, aparecen naturalmente en la teoría cuántica de campos, en particular en las teorías de Yang-Mills y Chern-Simons. Por ejemplo, el número de estados vacíos en la teoría supersimétrica de Yang-Mills sobre (S^1)^3, está determinado por la estructura de los espacios de representaciones Rep(Z^3,G), para un grupo de Lie compacto G. Esta identificación ha servido como motivación para el estudio en general de los espacios de homomorfismos Hom(Z^n,G) y sus cocientes bajo la acción de conjugación. El objetivo principal de estudio de este proyecto de investigación es el estudio de invariantes algebraicos asociados a los espacios Hom(Z^n,G) y Rep(Z^n,G) para un grupo de Lie compacto, conexo, simplemente conexo y simple. En 2012, en un trabajo conjunto con Alexandra Pettet y Juan Souto pudimos demostrar que si G es un grupo de Lie compacto y conexo, entonces si tomamos como punto base de Hom(Z^n,G) a la n-tupla trivial (1,1,…,1), entonces el grupo fundamental de Hom(Z^n,G) es isomorfo al producto de n-copias del grupo fundamental de G. En otras palabras, la función inclusión de Hom(Z^n,G) dentro de Gn define un isomorfismo a nivel del grupo fundamental. En este proyecto contemplamos expandir este trabajo y calcular el segundo grupo de homotopía de los espacios Hom(Z^n,G) y Rep(Z^n,G). En general, si G es un grupo de Lie, al variar n podemos construir con los espacios Hom(Z^n,G) un espacio simplicial cuya realización geométrica es denotada por BcomG y es llamado el espacio classificante para conmutatividad en G. El espacio BcomG naturalmente es un subespacio del espacio clasificante de G, BG. El espacio BG juega un rol crucial en geometría y topología dado que clasifica los G-fibrados principales sobre espacios topológicos paracompactos. En 2015, en un trabajo conjunto con Alejandro Adem demostramos que el espacio BcomG clasifica los G-fibrados principales para los cuales podemos encontrar un cubrimiento abierto y trivializaciones donde las correspondientes funciones de transición conmutan entre sí siempre que estén definidas de manera simultánea. Dichos fibrados son llamados fibrados transicionalmente conmutativos. En otras palabras, BcomG es un espacio clasificante para los fibrados transicionalmente conmutativos sobre espacios paracompactos. Para un grupo de Lie compacto y simplemente conexo, los grupos de homotopía de BG y BcomG son triviales hasta dimensión 3. Esto significa que sobre la esfera Sn con 0<n<4 tenemos que todos los G-fibrados principales y los fibrados transicionalmente conmutativos son triviales. Sin embargo, para n=4, los grupos de homotopía de BG y BcomG ya no coinciden. Esto implica en particular, que sobre la esfera S^4 podemos encontrar ejemplos de G-fibrados principales que son triviales como fibrados pero que no son triviales como fibrados transicionalmente conmutativos. Analizando la estructura del BcomG se puede observar que las distintas estrucuras de G-fibrados transicioanlmente sobre la esfera S^4 que son triviales como fibrado están clasificadas por el segundo grupo de homotopía del espacio Hom(Z^2,G). Esta nuestra motivación geométrica para el problema propuesto.