El área de investigación del Proyecto hace parte de la teoría algebraica moderna de representaciones, que incluye, en particular, las teorías de representaciones de álgebras artinianas, de conjuntos parcialmente ordenados (posets), de carcajes (grafos orientados), de órdenes-anillos (anillos especiales en álgebras semisimples) y de vectroides (subcategorías de la categoría de espacios vectoriales). Las investigaciones se concentran principalmente alrededor de la consideración y solución de problemas de clasificación de álgebra lineal de tipo manso, es decir problemas ¿solubles¿, en el sentido de que existe la posibilidad, en principio, de describir todos los objetos o módulos indescomponibles, salvo isomorfismo. También son objeto de consideración y elaboración las formas cuadráticas y bilineales acompañantes, junto con sus raíces (que aparecen muy naturalmente en todas las direcciones mencionadas), la teoría de módulos y anillos no asociativos, así como el análisis combinatorio correspondiente. El marco teórico En 1972 Nazarova y Roiter [29], en sus investigaciones sobre representaciones de álgebras de dimensión finita, surgidas a partir del estudio de dos conjeturas famosas de Brauer-Thrall, introdujeron las representaciones de posets y, simultáneamente, Gabriel [19] introdujo las representaciones de carcajes. Sus descubrimientos fueron un punto crucial en el desarrollo de la teoría de álgebras de dimensión finita y marcaron el comienzo de una nueva época de investigación en teoría de representaciones de estructuras algebraicas. Junto con la teoría de Auslander y Reiten de sucesiones casi escindidas [7],[2] las investigaciones de Dlab y Ringel sobre representaciones de grafos evaluados [15]-[18], así como con otros logros importantes del período, esas nociones sentaron una base para el desarrollo intensivo de la teoría algebraica de representaciones durante las tres últimas décadas. La exposición detallada de los diferentes aspectos del tema está contenida en los libros [1]-[6]. Las representaciones de posets ordinarios [29], de posets con una relación de equivalencia (en particular, con involución) [32],[45],[11],[28], de posets biinvolutivos (diádicos) [33],[23],[24],[34], de posets equipados [39],[47] y de algunas modificaciones de ellos, han sido objeto de mucha atención por parte de especialistas en la teoría de representaciones algebraicas durante las últimas décadas del siglo pasado y en el presente. El estudio de posets con estructuras adicionales es una rama importante y actual de la teoría de representaciones moderna. Hay conexiones estrechas del tema también con la teoría de retículos modulares [21],[22], con la teoría de grupos abelianos [1],[14] y con la teoría clásica de anillos, módulos y categorías [48],[49],[52],[37],[38]. El objetivo general El objetivo general del proyecto es desarrollar y profundizar la teoría de representaciones de posets con algunas estructuras adicionales; en primer lugar, de posets con una relación de equivalencia (en particular, con involución) y de posets equipados. Asimismo, investigar propiedades y estructuras de las categorías de representaciones correspondientes. Los objetivos específicos y los resultados esperados El objetivo general se lleva a cabo por medio de los objetivos específicos siguientes: 1. Dar una interpretación categórica completa de los algoritmos de diferenciación para posets con involución y para posets equipados (descritos inicialmente sólo con el uso del lenguaje matricial). 2. Obtener criterios de crecimiento finito para algunas clases de posets con relación de equivalencia y de posets equipados con involución. 3. Investigar la estructura de series de representaciones indescomponibles de posets con involución y de posets equipados de tipo manso. Determinar los sistemas de invariantes para el caso de crecimiento finito y, si es posible, para el caso de crecimiento infinito. 4. Aclarar posibilidades y vías factibles del uso del aparato de diferenciación para obtener una descripción de todas las representaciones indescomponibles y morfismos irreducibles de las categorías de representaciones correspondientes. Nota: los objetivos específicos contienen a la vez (en una forma general) los resultados esperados. Una explicación más detallada se presenta más adelante. La metodología a utilizar Para lograr los objetivos del Proyecto usaremos los algoritmos de diferenciación (de reducción) que permiten trabajar efectivamente con las categorías de representaciones correspondientes y obtener, en principio, la clasificación deseada, no solamente de objetos, sino incluso de morfismos. Tales algoritmos son functores especiales entre categorías iniciales y categorías derivadas, que inducen equivalencias de categorías cocientes y permiten realizar los pasos de inducción en demostraciones. Los resultados obtenidos durante la ejecución del Proyecto serán publicados en revistas especializadas y presentados en seminarios y conferencias nacionales e internacionales. Además, estos resultados serán utilizados en el proceso de educación, en cursos especiales para estudiantes de Maestría y Doctorado en Matemáticas, así como parcialmente en los cursos básicos para estudiantes de Pregrado en Matemáticas. Todo el proceso de ejecución del Proyecto estará acompañado por recolección de información nueva y de bibliografía sobre el tema, con sistematización, organización.