A través de los siglos, la estabilidad de diferentes fenómenos se ha estudiado por medio de la teoría de la bifurcación. Matemáticamente, los estados observados son modelados como soluciones de ecuaciones diferenciales no lineales. En términos generales, se espera que un ligero cambio de un parámetro en un sistema no tenga una gran influencia, sino más bien, que las soluciones estables cambien continuamente de una forma única. Esa expectativa es verificada por el teorema de la función implícita. En consecuencia, si una rama continua de soluciones conserva su estabilidad no se observa ningún cambio dramático cuando se varía el parámetro. Sin embargo, si el estado fundamental pierde su estabilidad cuando el parámetro alcanza un valor crítico, entonces ya no se observa el mismo estado, sino el propio sistema organiza un nuevo estado estable que se bifurca del estado fundamental. En [11], Smoller y Wasserman presentan criterios sencillos basados en el Índice Morse para determinar la existencia de puntos de bifurcación que, junto con el Teorema de la función implícita, han permitido a varios autores estudiar diferentes problemas de estabilidad. Por ejemplo, Bettiol y Piccione [3] utilizan esta técnica para obtener resultados sobre la existencia y la no existencia de métricas con curvatura escalar constante y tan cerca como se desee a una métrica homogénea dada sobre la esfera. Jin, Lin y Xu en [8] obtuvieron algunos resultados de multiplicidad para la ecuación de Yamabe sobre la esfera. Recientemente, Ramírez-Ospina [9] demostró la existencia de incontables métricas de curvatura escalar constante de volumen unitario en espacios producto entre un toro llano y una variedad compacta. Por otra parte, Alías y Piccione [1] consiguen demostrar la existencia de una sucesión infinita de toros de curvatura media constante (CMC) inmersos isométricamente en esferas euclidianas que no son congruentes isométricamente al toro de Clifford CMC. Estos resultados se han generalizado en [7], donde la bifurcación y ruptura de la simetría son estudiadas para foliaciones de CMC que aparecen como órbitas de cohomogeneidad uno, bajo acciones isométricas sobre variedades riemannianas compactas. Motivados por estos trabajos en este proyecto nos proponemos estudiar este concepto de bifurcación de variedades riemannianas en dos sentidos: en el sentido de variaciones normales de hipersuperficies CMC y en el sentido de variaciones de métricas. En el primer sentido queremos estudiar la existencia o no, de familias uniparamétricas de hipersuperficies CMC (localmente) rígidas. Duramente hablando esto es, si dada cualquier otra hipersuperficie CMC que esté lo suficientemente cerca a algún elemento de la familia, debe entonces ser congruente a algún elemento de la familia. Para el otro caso, primero recordemos que el problema clásico de Yamabe consiste en mostrar que toda variedad riemanniana compacta sin frontera, admite una métrica conforme con curvatura escalar constante. Yamabe [13] afirmó haber resuelto dicho problema. Sin embargo, su prueba contenía un error. Después de los esfuerzos combinados de Trudinger[12], Aubin[2] y Schoen[10], el problema fue completamente solucionado. Es importante resaltar que estas métricas pueden ser caracterizadas variacionalmente como puntos críticos del funcional de Hilbert-Einstein sobre las clases conformes. El mínimo de este funcional en una clase conforme, es único. Sin embargo, en muchos casos podemos encontrar una gran variedad de métricas de curvatura escalar constante que aparecen como puntos críticos que no son necesariamente minimizadores, por está razón, es muy interesante encontrar clases conformes donde el problema de Yamabe tiene múltiples soluciones y un método clásico para obtener nuevas soluciones de una EDP a partir de una curva de soluciones conocidas es el uso de la teoría de la bifurcación.