La ocupación macroscópica de un único estado cuántico fue predicha por Bose y Einstein alrededor de 1920, sin embargo su observación experimental solo fue posible en 1995 mediante el confinamiento de átomos alcalinos en trampas magnéticas. Este gran avance en la física dio origen a una nueva área de investigación conocida hoy como átomos ultrafrios. Confinar átomos en redes ópticas es un nuevo, exitoso y prometedor recurso experimental, que está permitiendo estudiar algunos fenómenos típicos del estado sólido, mediante la emulación de algunos modelos en montajes limpios, libres de defectos y totalmente controlables. Algunos ejemplos son la aparición del nivel de Fermi en un gas de fermiones, la obtención de estados aislantes de Mott para bosons y fermiones, así como diferentes tipos de condensados de Bose-Einstein [Rev. Mod. Phys. 80, 885 (2008)]. En el año 2002 fue posible observar una transición de fase cuántica de un estado aislante de Mott a un superfluido mediante el confinamiento de átomos de Rb en una red óptica tridimensional, resultado que rápidamente fue extendido a un sistema unidimensional [Phys. Rev. Lett. 92, 130403 (2004)]. Esta observación experimental fue explicada usando el modelo de Bose-Hubbard para bosones sin espín, el cual contiene un término cinético y un término local de interacción entre dos cuerpos. Cuando se extiende este modelo para incluir interacciones a primeros vecinos aparecen cuatro fases: aislante de Mott, aislante de Haldane, onda de densidad de carga y superfluida [New J. Phys. 14, 065012 (2012)]. Átomos como Rb y Na, tienen un espín hiperfino S=1, el cual no esta restringido en redes ópticas, por tanto una descripción refinada de los gases de estos átomos nos lleva a un modelo de Bose-Hubbard para bosones con espín S=1, el cual tiene un término de interacción local debido al espín que cuando es atractivo conduce a fases superfluidas y aislantes de Mott ferromagnéticas [PRL 110, 130405 (2013)]. En este proyecto nosotros queremos determinar el diagrama de fases de un modelo de Bose-Hubbard para bosones con espín S=1 con interacción a primeros vecinos. También exploraremos las propiedades topológicas de un gas de bosones con espín S=1 sujetos a potenciales cuasiperiodicos o bicromaticos [Phys. Rev. A 89, 033632 (2014)]. Recientemente fue sugerido que mediante tunelamiento Raman asistido se puede generar una modulación en una red óptica que confina átomos bosonicos y así crear un gas de partículas con estadística fraccionaria (aniones)[Nature Commun. 2, 361(2011)]. Este sistema es descrito por un modelo de Bose-Hubbard para bosons sin espín, pero con una constante de hopping que depende de la densidad local, concentrando en este factor el efecto de la estadística. Nosotros pretendemos determinar las fases cuánticas del modelo y la evolución de los puntos críticos en función de la estadística, la interacción local entre dos y tres cuerpos. Esta última ha sido considerada recientemente debido a la evidencia experimental del efecto de la interacción entre muchas partículas en un gas de Rb confinado en redes ópticas[Nature 465, 197 (2010)]. En este proyecto de investigación se pretende vincular tres alumnos de maestría en ciencias física (Facultad de Ciencias-Bogotá). Los estudiantes a vincular son: Andres Hincapie, Julian Arcila y otro por definir. Nosotros abordaremos los Hamiltonianos de Bose-Hubbard con la técnica de campo medio y complementariamente usaremos las técnicas numéricas de diagonalización exacta y el método de grupo de renormalización de la matriz densidad (DMRG) . La ejecución de este proyecto de investigación arrojará como posibles resultados la determinación de los diagramas de fase de los modelos sugeridos, así como dos artículos sometidos a revistas internacionales indexadas por Colciencias.