En este proyecto se contemplan dos problemas de investigación. El primer problema es sobre la ecuación del calor discreta, y corresponde al dominio de las redes complejas y la geometría discreta. El segundo problema es la constructibilidad de la aplicación de Darboux-Cartan para un D-grupoide de Lie transitivo. Este es una extensión contemporanea de un problema muy clásico de geometría diferencial, cuya solución ayudará al desarrollo de las teorías de Estructuras Geométricas, Pseudogrupos de Lie, y la teoría de Galois diferencial no lineal. Con respecto al primer problema, la ecuación del calor discreta es un proceso de difusión que tiene lugar en una red compleja. Estos procesos de difusión tienen un profundo interés teórico, pero también aparecen de forma natural en muchas aplicaciones, como la propagación de virus a través de internet, percolaciones de un medio poroso, etc. La ecuación del calor discreta ha sido estudiada recientemente por numerosos expertos en el área de redes. Hasta el momento hay resultados muy completos en el caso de redes homogéneas, grafos de Cayley y en general contextos dotados de gran simetría (Fan Chung et. al.). En otro proyecto anterior, nosotros hemos trabajado con la ecuación del calor discreta en grafos de Cayley, vista como un autómata celular, obteniendo resultados de naturaleza algebraica en el contexto de la teoría de Galois de ecuaciones en diferencias y del análisis de Fourier discreto (tesis de Maestría de Weimar Muñoz Alzate, y trabajo en preparación para Journal of Difference Equations). En este proyecto queremos estudiar la ecuación del calor en contextos más generales, particularmente en redes no homogéneas. También queremos explotar la ecuación del calor como medio de exploración de la topología de las redes complejas y la relación entre la ecuación del calor (proceso de difusión) y los caminos aleatorios, así como las transformaciones entre redes que conservan procesos de difusión (vease Dragomir et. al. Discrete Heat Equation Morphisms). Con respecto al segundo problema, la aplicación de Darboux-Cartan relaciona la estructura de las algebras de Lie y los grupos de Lie. Es conocido que una variedad paralelizada por un algebra de Lie de campos vectoriales esta dotada de una estructura natural de Grupo de Lie local, o equivalentemente, reviste un abierto de un grupo de Lie. Este revestimiento que envia la variedad paralelizada en un grupo de Lie se conoce como la aplicación de Cartan Darboux. Nosotros pretendemos llevar este resultado a un contexto algebraico. La primera pregunta es: ¡si tenemos una variedad algebraica paralelizada por un algebra de Lie de campos regulares, dicha variedad reviste un abierto de un grupo algebraico? Por el momento conocemos que dicha pregunta tiene una respuesta negativa, dada por un contraejemplo de B. Malgrange. Por tanto, en la caegoría algebraica, las variedades paralelizadas por algebras de Lie y las estructuras de grupo local son categorías diferentes teniendo la primera más objetos que la segunda. En este proyecto queremos clarificar la diferencia entre estas dos categorías, dando condiciones suficientes y necesarias para que una variedad algebraica paralelizada sea un grupo algebraico local. También queremos estudiar las posibles variedades paralelizadas que no corresponden a estructuras locales de grupo algebraico, y clasificarlas. Para ello, hemos descubierto un interesante nexo entre este problema y la teoría de las extensiones G-primitivas de E. Kolchin (Differential Algebra and Algebraic Groups, 1974).