Confinar átomos en redes ópticas es un nuevo, exitoso y prometedor recurso experimental, que está permitiendo estudiar y extender diversos fenómenos en varias áreas de la física, especialmente en materia condensada. Algunos ejemplos son: la observación experimental del condensado de Bose-Einstein y su generalización espinoral, la aparición del nivel de Fermi en un gas de fermiones, la obtención de estados aislantes de Mott con átomos bosonicos y fermionicos, entre otros [Rev. Mod. Phys. 80, 885 (2008)]. Estos montajes limpios, libres de defectos y totalmente controlables han permitido la observación de transiciones de fase cuánticas, superfluido-aislante de Mott con átomos bosonicos [Nature 415, 39 (2002)] y metal-aislante de Mott con átomos fermionicos [Nature 455, 204 (2008)]. En la mayoria de los experimentos con átomos fríos las interacciones son de corto alcance, sin embargo sistemas con interacciones de largo alcance prometen una diversidad de fases cuánticas y una rica dinámica. Diversas formas para manipular las interacciones dipolo-dipolo entre átomos están permitiendo obtener interacciones de largo alcance y así simular modelos de Hubbard extendidos [Science 357, 995 (2017)]. El estado supersólido combina la cristalización de un sistema de muchos cuerpos con el flujo sin disipación de sus componentes y su observación ha sido dificil. Sin embargo recientemente se reporto la realización de un supersólido en un gas cuántico compuesto de átomos de 87Rb o 23Na[Nature 543, 87 (2017); Nature 543, 91 (2017)]. Un estado supersólido fue obtenido estudiando un modelo de Bose-Hubbard sin espín con interacciones a primeros vecinos [PRL 110, 265303 (2013)]. Confinamientos puramente ópticos ya son posibles, liberando el grado de libertad de espín de los átomos (87Rb, 23Na), por tanto estudiaremos un sistema unidimensional de átomos bosonicos con espín S=1 considerando interacciones a primeros vecinos, buscando la aparición de una fase supersólida. En el año 2014, se obtuvo experimentalmente un sistema unidimensional de átomos de 173Yb con fuerte interacción repulsiva entre si y simetría SU(N), donde el número N>2 de proyecciones de espín es sintonizable [Nat. Phys. 10, 198 (2014)]. También se ha obtenido un gas degenerado con átomos de 6Li, el cual tiene tres estados hiperfinos [PRL 101, 203202 (2008)]. Las anteriores observaciones experimentales han estimulado el estudio de gases de átomos con N>2 grados de libertad internos confinados en redes ópticas, es decir del modelo de Hubbard SU(N). Para N>2 solo se han considerado interacciones locales, por eso en este proyecto vamos a estudiar un sistema de átomos fermionicos con tres grados de libertad internos considerando interacciones a primeros vecinos. Este problema es interesante por que puede conducir a nuevas fases cuánticas y ayudar a entender resultados experimentales. Debido a que el confinamiento de átomos se logra a temperaturas muy bajas, nosotros estudiaremos sistemas de átomos con estructura interna considerando interacción a primeros vecinos a temperatura cero, los cuales serán descritos usando modelos de Hubbard extendidos tanto para bosones como para fermiones. Nosotros abordaremos los Hamiltonianos de los modelos planteados en este proyecto con la técnica de campo medio y complementariamente usaremos las técnicas numéricas de diagonalización exacta y el método de grupo de renormalización de la matriz densidad (DMRG) [PRL 69, 2863 (1992)]. A este proyecto de investigación se vincularán dos alumnos de doctorado (Rodrigo Castellanos y Richard Avella), un estudiante de maestría (Arturo Perez ) y un estudiante de pregrado( Jorge Perdomo). La ejecución de este proyecto de investigación arrojará como posibles resultados la determinación de los diagramas de fase de los modelos sugeridos, así como un (1) artículo publicado o sometido a revistas internacionales indexadas, una tesis de maestría y una ponencia internacional.