El proyecto dos frentes de investigación que comparten un profundo núcleo algebraico: la caracterización de simetrías y la resolución de la integrabilidad en sistemas dinámicos continuos y discretos mediante la teoría de Picard-Vessiot de ecuaciones diferenciales o en diferencias lineales. En el primer eje, el proyecto aborda el problema de la clasificación geométrica de las ecuaciones diferenciales mediante la teoría de Picard-Vessiot. Tomando como base teórica nuestros desarrollos anteriores (Arenas, Blázquez-Sanz, Casale 2025), el núcleo del problema consiste en distinguir, aislar y clasificar las acciones de los grupos algebraicos en el interior de los pseudogrupos de Lie. Los pseudogrupos de Lie proporcionan el sustrato geométrico natural para describir las simetrías locales de estructuras diferenciables y el comportamiento transversal de las foliaciones asociadas a sistemas de ecuaciones diferenciales. En la teoría clásica, la integrabilidad de una ecuación diferencial lineal está codificada rígidamente en su grupo de Picard-Vessiot, el cual es un grupo algebraico lineal de dimensión finita. Sin embargo, al transitar hacia ecuaciones no lineales o estudiar los paralelismos racionales sobre variedades, la noción de simetría debe expandirse estructuralmente hacia el uso de grupoides (como el grupoide de Malgrange). Determinar bajo qué condiciones topológicas y diferenciales las simetrías locales de un sistema provienen puramente de la acción de un grupo algebraico exige un escrutinio profundo de la trascendencia geométrica y las conexiones de Lie. En el segundo eje, la teoría de Picard-Vessiot se aplica al contecto de ecuaciones en diferencias lineales con infinitas variables, fundamentado en la investigación pasada (Blázquez-Sanz & Muñoz, 2017) . Históricamente, la formulación clásica de la teoría de Galois de ecuaciones en diferencias se encuentra anclada a sistemas con un número finito de variables y estados, operando sobre cuerpos de diferencias estándar. El reto que asume este proyecto es la superación de dicha barrera dimensional. Matemáticamente, este tipo de dinámica distribuida puede estructurarse como sistemas de ecuaciones de convolución definidos sobre un grupo discreto subyacente. Esta perspectiva ofrece una generalización potente del concepto de autómatas celulares lineales, transformándolos en objetos susceptibles de estudio continuo. El problema consiste en extender el andamiaje funcional —definiendo esquemas de grupos de Galois y anillos de Picard-Vessiot consistentes— hacia estos sistemas de dimensión infinita. Dado el tamaño del espacio de fase, emergen complejidades topológicas sin precedentes; la resolución de la integrabilidad exige la hibridación de herramientas provenientes del análisis armónico, específicamente la transformada de Fourier discreta sobre grupos, junto con el análisis de operadores de convolución. La convergencia de estos dos grandes bloques configura un problema matemático integral: descubrir, formalizar y explotar las estructuras algebraicas ocultas tanto en el régimen de la geometría diferencial de los pseudogrupos de Lie, como en la dinámica topológica a gran escala típica de las ecuaciones de diferencias de múltiples variables.