LA DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA GRAN CANTIDAD DE FENÓMENOS EN LAS CIENCIAS FÍSICAS Y NATURALES CONDUCE A ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES NO LINEALES. UNA CLASE IMPORTANTE DE ESTAS ECUACIONES ES LA DE LAS ECUACIONES ELÍPTICAS, LAS CUALES CORRESPONDEN A SITUACIONES ESTACIONARIAS, ES DECIR INDEPENDIENTES DEL TIEMPO. DE OTRA PARTE, EN LA DESCRIPCIÓN DE FENÓMENOS ONDULATORIOS, QUE DEPENDEN DEL TIEMPO, COBRA IMPORTANCIA LA CLASE DE ECUACIONES DE EVOLUCIÓN DISPERSIVAS NO LINEALES. EN ESTE PROYECTO ESTUDIAREMOS PROBLEMAS RELACIONADOS CON ESTAS DOS CLASES DE ECUACIONES. CON RELACIÓN A LAS ECUACIONES ELÍPTICAS, SEMILINEALES O CUASILINEALES, ABORDAREMOS LOS ASPECTOS DE EXISTENCIA, MULTIPLICIDAD DE SOLUCIONES Y PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES PARA PROBLEMAS DE DIRICHLET ASINTÓTICAMENTE LINEALES Y SUPERLINEALES. TAMBIÉN ESTUDIAREMOS EXISTENCIA DE SOLUCIONES PARA UN SISTEMA ELÌPTICO DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES. PARA LAS ECUACIONES DE EVOLUCIÓN DISPERSIVAS, ESTUDIAREMOS CONDICIONES SUFICIENTES DE CARÁCTER LOCAL BAJO LAS CUALES LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE CAUCHY ES IDÉNTICAMENTE NULA (PRINCIPIOS DE CONTINUACIÓN ÚNICA) Y ANALIZAREMOS EL DECAIMIENTO EN TIEMPOS INTERMEDIOS PARA CIERTAS ECUACIONES DE EVOLUCIÓN LINEALES EN LAS QUE SE CONOCE EL DECAIMIENTO EN DOS TIEMPOS DIFERENTES. EN EL ESTUDIO DE LOS PROBLEMAS DE DIRICHLET NO LINEALES HAREMOS USO DE MÉTODOS VARIACIONALES, DE TÉCNICAS DE TEORÍA DE BIFURCACIÓN, DE TEORÍA DE GRADO Y DE ÍNDICE TOPOLÓGICO, QUE SON DE FRECUENTE USO EN EL TRATAMIENTO DE PROBLEMAS ELÍPTICOS NO LINEALES. ASÍ MISMO, PARA LOS PROBLEMAS DE CAUCHY ASOCIADOS A ECUACIONES DISPERSIVAS NO LINEALES UTILIZAREMOS TÉCNICAS DE ANÁLISIS ARMÓNICO Y DE ANÁLISIS COMPLEJO INTRODUCIDAS RECIENTEMENTE. ESPERAMOS AL FINALIZAR ESTE PROYECTO HABER PUBLICADO TRES ARTÍCULOS EN REVISTAS INDEXADAS, PRESENTADO SEIS PONENCIAS EN EVENTOS NACIONALES O INTERNACIONALES, DIRIGIDO UNA TESIS DE MAESTRÍA Y UN TRABAJO DE GRADO.