En el proyecto consideramos aplicaciones de técnicas de diseño geométrico asistido por computadora y geometría diferencial a imagenología médica (resonancias magnéticas y tomografías) y a la descripción y deformación de superficies moleculares. En el caso de imágenes médicas se considera un parche interior a un volumen tomográfico ó un volumen dado por resonancia magnética, el cual se ajusta al órgano a ser estudiado. En el caso de una superficie molecular - de van der Waals, su representación como un conjunto de parches triangulares de Bézier permite su deformación controlada y su texturización correponde a los cambios electro-químicos asociados a diversas regiones de la superficie a medida que ésta se deforma. Son de especial interés los parches más simples: superficies paramétricas dadas por polinomios ó funciones racionales de grado bajo y que yacen sobre superficies algebráicas de grado bajo tales como cuádricas ó cúbicas. Un parche triangular de grado dos y un parche reglado con una cónica como generatriz, en general yacen sobre una superficie de grado cuatro. En casos especiales un parche reglado desarrollable se puede reducir a un cono cuadrático y un parche triangular cuadrático puede yacer sobre una cuádrica El eje central, que es común a las aplicaciones en imagenología médica y la química computacional es la texturización y la deformación de los modelos - ambos procesos están acoplados y por ende la geometría y la texturización varían de manera interdependiente. En el caso de superficies moleculares la texturización describe propiedades como la la electronegatividad y la hidroafinidad. Para la texturización y despliegue en 3D, vía interpolación trilineal, es muy útil la parametrización de grado bajo del parche y la propiedad de yacer sobre una superficie de grado implícito bajo es a su vez conveniente en los procesos de optimización, ajuste y posicionamiento del parche en 3D, lo cual es importante en el estudio de volúmenes médicos y también en el estudio de superficies moleculares. El caso cuando el parche yace sobre una superficie cuádrica o cúbica facilita la identificación de la posición de puntos arbitrarios en 3D respecto a la superficie o parche que se está considerando. En líneas generales, el proyecto tiene como antecedente los desarrollos alcanzados anteriormente por los dos jóvenes investigadores que estamos postulando para renovar su vinculación al programa de Jóvenes Investigadores de Colciencias: Jaime Arenas y Fabio Gómez. Adicionalmente, el presente proyecto se asocia a una propuesta doctoral (plasmada en el proyecto ECOS Nord, entre nuestra la Universidad Nacional y la Universidad de Valenciennes) para Samir Posada, quien recientemente terminó su tesis de maestría en el área de parches triangulares. Jaime consideró el problema de representación de una superficie molecular por medio de polígonos esféricos y su descripción en términos de triángulos de Bézier. Lo anterior permite la deformación de la superficie usando los puntos de control y los pesos. Usando resultados recientes de Sanchez y Paluszny se puede garantizar la deformación de un parche cuadrático que yace sobre una cuádrica en otro parche cuadrático que también yace sobre una cuádrica (en general la deformación de un parche triangular cuadrático produce una superficie implícita de grado cuatro). Ésto permite preservar la simplicidad geométrica de la superficie la cual consiste en un conjunto de parches triangulares cuadráticos que yacen sobre cuádricas. Fabio Gómez trabajó en técnicas para la texturización de parches, éstas incluyen clásicamente dos posibilidades: evaluación directa de los polinomios de Bernstein y el algoritmo de de Casteljau.