El grupo de Análisis Matemático es un conjunto formado por dos áreas de conocimiento e investigación: Análisis/EDPs y Geometría. El equipo es conformado por un grupo de profesores especializados en cada una de las áreas. Su objetivo principal es el análisis de modelos matemáticos subyacentes a cuestiones naturales, físicas y/o geométricas, que involucran variaciones de estados.
El área de Ecuaciones Diferenciales Parciales EDP´s congrega fuerzas de trabajo para el estudio de modelos teóricos y físicos gobernados por ecuaciones que contienen derivadas en varias variables. Son aquellos modelos que de alguna manera intentan describir o generalizar fenómenos naturales en los que variaciones de tiempo, de espacio y de parámetros están involucradas. Modelos de EDP´s pertenecen a diferentes especialidades o áreas científicas; como por ejemplo, modelos no lineales de ondas en aguas rasas en dinámica de fluidos, modelos magneto hidrodinámicos en física del plasma, óptica no lineal y mecánica cuántica, modelos integrodiferenciales en neurociencia y modelos elípticos en geometría y fenómenos estacionarios.
Ésta subarea esencialmente hace análisis de EDP´s, entendiendo como análisis la solución analítica a cuestiones que pueden levantarse de intereses prácticos, así como también de intereses puramente teóricos. Varios aspectos matemáticos de las soluciones de estos modelos son sistematicamente abordados; entre ellos comportamiento asintótico, estabilidad, buena postulación/colocación, propiedades de continuación única, controlabilidad y estabilización.
En lo que respecta a la Geometría, estamos interesados en estudiar las superficies con curvatura constante 0 y -1. Concretamente, en las superficies planas (curvatura constante 0), planteamos la realización de superficies de translación de género infinito con determinado grupo de Veech. En cuanto a las superficies con curvatura negativa -1, dada una superficie de Riemann no compacta S nos interesa encontrar explícitamente un grupo Fuchsiano G tal que el cociente del plano hiperbólico entre el grupo G sea biholomorfo a la superficie S. Por otra lado, Nos proponemos entender dos objetos: los mapas regulares y mapas con dos órbitas en banderas que se realizan en superficies de género infinito. |
Se abordan problemas abiertos como resultado de investigaciones previamente publicadas, de investigaciones en curso o de intereses propuestos por investigadores de amplia trayectoria en el campo.
La manera de enfrentar el tipo de modelos y los problemas subyacentes a ellos, es colocándolos en espacios funcionales adecuados, donde herramientas de análisis real y complejo, análisis armónico, análisis funcional, topología o técnicas variacionales adquieren un papel fundamental para resolver las cuestiones que nos son de interés particular.
El grupo promoverá una dinámica en la investigación del área de Análisis/EDP, Geometría y Combinatoria, a las cuales pueden acceder estudiantes de pregrado y posgrado, un ejercicio que contribuirá al desarrollo de sus eventuales trabajos o tesis de grado.
Los seminarios para discutir artículos de investigación y los avances del grupo en sus propias tareas constituyen una de las principales actividades del equipo de trabajo.
Las pasantías y estancias cortas de investigación por parte de los miembros, la asistencia a eventos del área, la programación de minicursos y conferencias por parte de profesores visitantes invitados, hacen parte también de las estrategias para fortalecer al grupo en sus procesos investigativos y formativos.
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Los problemas de nuestro interés provienen de fenómenos físicos y/o geométricos. Algunos de ellos son relativos a ondas de aguas rasas, otros pertenecen a la óptica no lineal, a la física cuántica o la topología. Por tanto, desarrollos teóricos en esa dirección pueden ir de la mano con aquellos desarrollos técnicos en la ingeniería.
En un segundo lugar están los modelos físicos de la ingeniería referente a problemas de control. La teoría matemática del control es un área de investigación multidisciplinar entre las Matemáticas y la Ingeniería, con importantes conexiones con las Ciencias de la Computación, la Tecnología y las Telecomunicaciones.
Por otro lado, aquellos modelos con difusión no local no lineal y del tipo integrodiferenciales, son de interés a la neurociencia debido a la preocupación por entender las patologías del cerebro.
Geometría. Las superficies de translación han aparecido naturalmente en diferente ramas de las matemáticas como: Sistemas Dinámicos, Teoría de Teichmüller , Supercies de Riemann entre otras. No obstante, las supercies objeto de nuestro interés son las supercies de translación mansas. Históricamente, la primera supercie de translación mansa data de 1936. En aquella época Fox, R. y Kershner, R. asociaron al billar $\phi$ que proviene de un polígono Euclidiano compacto $P\subset \mathbb{R}^2$ una supercie de translación mansa $S_P$ (la cual llamaron Ueberlagerungsäche) y adicionalmente, definieron una proyección $\pi : S_P \to \phi$, en la cual una geodésica de la supercie $S_P$ se proyecta en una trayectoria del billar $\phi$.
Por otro lado, a finales de la década de los ochenta Veech, W., asoció a cada supercie de translación $S$ un grupo que posteriormente fue llamado el grupo de Veech, denotado mediante $\Gamma(S)$, $\Gamma(S) < GL_{+}(2,\mathbb{R})$. Además, Veech probó que si dicho grupo de Veech es una retícula, entonces el comportamiento del flujo geodésico obedece a una dicotomía, es decir, el fluujo es periódico o únicamente ergódico con respecto a la medida de Lebesgue.
Motivados por el interés que han atraído, recientemente, las supercies de translación de género infinito, a continuación presentaremos uno de los problemas que deseamos estudiar en esta área de las matemáticas.
¿Cuáles subgrupos de $GL_{+}(2,R)$ son realizables como grupos de Veech de una supercie de translación mansa de género infinito?
Combinatoria. Los sólidos platónicos, corresponden a unos de los mapas más estudiados desde la edad antigua. Podría decirse que ellos motivaron el teorema de la caracteristica de Euler para el caso de la esfera. Básicamente, el concepto de mapa en una superficie es la idea que poseemos de la representación gráfica de los países en el globo terráqueo, es decir, la superficie es descompuesta en paises (caras), estos están delimitados por sus respectivas fronteras (aristas) y el punto donde tres o más países se reunen es un vértice. En las últimas décadas los mapas regulares que se realizan en superfiies compactas han estado de moda. No obstante, estamos interesados en los mapas que se realizan en superficies no compactas. En 1923, Coxeter, H. S. M. y Petrie, J. F. encontraron tres nuevos poliedros regulares -infinitos- los cuales etiquetaron mediante {4,6|4}, {6,4|4} y {6,6|3}, y que son mapas regulares en el monstruo del lago Ness. Jhon Comway llama a estos poliedros infinitos los llaman el cubo multiplicado, el octaedro multiplicado y el tetraedro multiplicado, respectivamente. Estos tres mapas regulares sumados con las tres teselaciones regulares (triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos) del plano Euclideano y las teselaciones regulares del plano Hiperbólico fueron los primeros ejemplos de mapas regulares en superficies no compactas y orientables.
Motivados por los mapas regulares en el monstruo del lago Ness y el plano queremos estudiar el siguiente problema: ¿Cuáles son los mapas regulares que se realizaran en el monstruo? |
